Неявная поверхность

Неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве, определённая уравнением Неявная поверхность является множеством нулей функции трёх переменных. Термин неявная здесь означает, что уравнение не решено относительно любой из переменных, x, y или z. График функции обычно описывается уравнением и такое представление называется явным. Третьим важным способом описания поверхности является параметрическое представление —, где координаты x, y и z точек поверхности представлены тремя функциями , зависящими от общих параметров . Обычно изменение представления поверхности осуществляется просто только в случае, если задано явное представление . Тогда другими двумя представлениями будут (неявное) и (параметрическое). Примеры: 1. * плоскость 2. * сфера 3. * тор 4. * Поверхность рода 2: (см. рисунок). 5. * Поверхность вращения (см. рисунок рюмка). Для плоскости, сферы и тора имеется простое параметрическое представление, что неверно для четвёртого примера. Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по меньшей мере неявно) относительно x, y или z. Но в общем случае явного решения может и не существовать. Эта теорема является ключевой для вычисления важных геометрических свойств поверхности, таких как касательные плоскости, нормали к поверхности, кривизны (см. ниже). Однако эти поверхности имеют существенный недостаток — их визуализация затруднительна. Если является многочленом от x, y и z, поверхность называется алгебраической. Пример 5 не является алгебраической поверхностью. Несмотря на трудность визуализации неявные поверхности дают относительно простые техники для их теоретической генерации (например, ) и поверхности, интересные для практических целей (см. ниже).