arrangement

En mathématiques, l'arrangement, défini pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, est le nombre de parties ordonnées de k éléments dans un ensemble de n éléments. Il est noté . L'arrangement fait partie de l'analyse de dénombrement (ou combinatoire) et est utilisé, entre autres, dans le calcul de probabilité. Lorsque l'on choisit k objets parmi n objets et que l’ordre dans lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, on peut les représenter par un k-uplet d'éléments distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte (si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente, et un élément ne peut être présent qu'une seule fois). Une telle liste ordonnée est un arrangement. Le nombre d'arrangements que l'on peut composer est noté (lire « A » « n » « k ») et vaut : . Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi n, le second parmi (n – 1)… et le dernier parmi (n – k + 1). Avec la notation factorielle, où n! = 1×2×…×n, cette formule devient En particulier, pour k > n (ce qui exprime le principe des tiroirs).Il s’agit en fait de la factorielle décroissante appliquée aux seuls entiers naturels : . Algébriquement, est le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments.Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial (anciennement ) par : .