Majorisierung

Majorisierung bezeichnet in der Mathematik die Quasiordnung im Vektorraum der reellen Zahlen. Ein Vektor wird in dieser Quasiordnung durch dargestellt, bei dem die Komponenten des Vektors gleich bleiben, diese aber in absteigender Reihenfolge sortiert sind. Wenn zwei Vektoren gegeben sind, dann majorisiert den Vektor schwach von unten (geschrieben als ), dann und nur dann, wenn Äquivalent kann diese Bedingung auch formuliert werden als wird vom Vektor von unten schwach majorisiert, geschrieben als . Andersherum majorisiert den Vektor schwach von oben, geschrieben als dann und nur dann, wenn Wieder dazu äquivalent ist die Aussage, dass der Vektor von von oben schwach majorisiert wird, geschrieben als . Wenn zusätzlich zu den oben genannten Bedingungen gilt, dass , dann majorisiert den Vektor , geschrieben als . Äquivalent dazu ist die Schreibweise , gesprochen als wird durch majorisiert. Es lässt sich zeigen, dass gilt . Die Sortierung der Majorisierung hängt nicht von der Sortierung der Vektoren und ab. Wichtig ist, dass aus und nicht folgt, dass ist. Zwar sind alle Komponenten der Vektoren gleich, allerdings nicht notwendigerweise in der gleichen Anordnung. Verwirrenderweise werden in der Literatur teilweise Definitionen verwendet, bei denen die Notation genau umgekehrt verwendet wird, das heißt wird durch ersetzt, während in neueren Versionen (sogar der Literatur, die die hier nicht genannte Definition verwenden) auf die hier im Artikel aufgeführte Definition zurückgreifen. Eine Funktion heißt Schur-konvex, wenn aus folgt, dass . Analog heißt Schur-konkav, wenn aus folgt, dass Für eine Verteilungsfunktion lässt sich die Majorisierung zur verallgemeinern.