distribuzione di pascal

Also known as Pascal distribution

probability distribution

Key facts

Notation: N B ( r , p ) {\displaystyle \mathrm {NB} (r,\,p)}
Parameters: r > 0 — number of successes until the experiment is stopped ( integer , but the definition can also be extended to reals ), p ∈ [0,1] — success probability in each experiment (real)
Support: k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — number of failures
Pmf: k ↦ ( k + r − 1 k ) ⋅ ( 1 − p ) k p r , {\displaystyle k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{k}p^{r},} involving a binomial coefficient
Cdf: k ↦ I p ( r , k + 1 ) , {\displaystyle k\mapsto I_{p}(r,\,k+1),} the regularized incomplete beta function
Mean: r ( 1 − p ) p {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}
Mode: 1 \\\\\n 0 & \\text{if } r\\leq 1\\end{cases}"}}'> { ⌊ ( r − 1 ) ( 1 − p ) p ⌋ if r > 1 0 if r ≤ 1 {\displaystyle {\begin{cases}\left\lfloor {\frac {(r-1)(1-p)}{p}}\right\rfloor &{\text{if }}r>1\\0&{\text{if }}r\leq 1\end{cases}}}
Variance: r ( 1 − p ) p 2 {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}
Skewness: 2 − p ( 1 − p ) r {\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {(1-p)r}}}}
Excess kurtosis

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In teoria delle probabilità la distribuzione di Pascal è una distribuzione di probabilità discreta con due parametri, ed , che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo n-esimo in un processo di Bernoulli di parametro p. A volte si considera la distribuzione di Pascal come quella distribuzione che descrive il numero di prove necessarie per ottenere n successi. Questa distribuzione è equivalente alla precedente ma riscalata, ovvero descrive una variabile aleatoria anziché . Ad esempio, lanciando una moneta fino ad ottenere 3 volte testa, la distribuzione di Pascal descrive le probabilità per il numero di risultati croce visti nel frattempo. La distribuzione prende il nome dal matematico francese Blaise Pascal. Questa distribuzione di probabilità può essere generalizzata sostituendo il numero naturale n con un numero reale positivo r. In questo caso viene detta anche distribuzione binomiale negativa (per la sua particolare formula) o di Polya (dal matematico ungherese George Polya).

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