Алгоритм нахождения корня n-ной степени

Арифметическим корнем -ной степени положительного действительного числа называется положительное действительное решение уравнения (для целого существует комплексных решений данного уравнения, если , но только одно является положительным действительным). Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня -ной степени: 1. * Сделать начальное предположение ; 2. * Задать ; 3. * Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность. Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня, которая получается подстановкой в шаг 2: . Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных) для нахождения нулей функции с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций, но не стоит забывать о машинной точности). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней. Для больших значений данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.