Misura esterna

In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura esterna è una funzione definita su tutti i sottoinsiemi di un dato insieme, a valori reali estesi, che soddisfa alcune condizioni tecniche supplementari. La teoria generale delle misure esterne è stata sviluppata da Constantin Carathéodory per trovare una base per la teoria degli insiemi misurabili e delle misure numerabilmente additive. Il lavoro di Carathéodory sulle misure esterne ha trovato molte applicazioni nella teoria degli insiemi misurabili ed è stata essenziale a Hausdorff per definire un invariante metrico ora chiamato dimensione di Hausdorff. Le misure sono generalizzazioni di lunghezza, area e volume, e sono utili per insiemi molto più irregolari di semplici intervalli o palle aperte in . Si richiede la definizione di una funzione di misura generalizzata che soddisfa le seguenti tre condizioni: * Ogni intervallo dei reali ha misura . * La funzione di misura è una funzione non negativa a valori reali estesi definita per ogni sottoinsieme di . * La funzione di misura è numerabilmente additiva. In modo esplicito, per ogni successione di sottoinsiemi a due a due disgiunti di si ha: Lo scopo di costruire una misura esterna per tutti i sottoinsiemi di è quello di estrarre un'opportuna classe di sottoinsiemi detti misurabili in modo che la proprietà di additività numerabile sia soddisfatta.