Processo de Poisson

O processo de Poisson, no contexto da probabilidade e da estatística, é um tipo de objeto matemático que lida com a aleatoriedade e que consiste numa série de pontos dispostos no espaço matemático. Esse processo conta com propriedades matemáticas convenientes, fato que o levou a ser frequentemente definido no espaço euclidiano e utilizado como modelo matemático aparentemente para processos aleatórios em várias disciplinas, tais como astronomia, biologia, ecologia, geologia, física, processamento de imagem e telecomunicações. O processo de Poisson é ainda frequentemente definido na reta real. Na teoria das filas, por exemplo, ele é utilizado para modelar eventos aleatórios, como a chegada de clientes em uma loja, distribuída no tempo. No plano geométrico, o processo de ponto é também conhecido como processo de Poisson espacial, e também pode representar objetos espalhados, como transmissores em uma rede sem fio, partículas colidindo dentro de um detector, ou mesmo árvores em uma floresta. Nesses cenários, o processo é frequentemente usado em modelos matemáticos e nas áreas afins de processos de ponto espaciais, , e da . No caso de espaços mais abstratos, o processo de ponto de Poisson serve como um objeto de estudo matemático em seu próprio direito. Em todas as situações, o processo de Poisson tem a propriedade de que cada ponto é estocasticamente independente para todos os outros pontos do processo, e é por isso que às vezes ele é chamado de um processo puramente aleatório. Apesar de sua ampla utilização como um modelo estocástico de fenômenos representáveis através de pontos, a natureza inerente do processo implica que ele não descreve adequadamente os fenômenos em que a interação entre os pontos não é suficientemente forte. Isso tem levado por vezes ao uso excessivo do processo de ponto em modelos matemáticos, e inspirou outros processos de ponto, alguns das quais são construídos através do processo de Poisson, buscando capturar essa interação. O processo de Poisson recebeu tal nome em referência ao matemático francês Siméon Denis Poisson, uma vez que, se um conjunto de pontos aleatórios num espaço formam um processo de Poisson, então o número de pontos em uma região de tamanho finito está diretamente relacionada com a distribuição de Poisson, muito embora o próprio Poisson nunca tenha estudado o processo em si; os estudos do processo surgiram em diversos contextos posteriores distintos. O processo é definido com um único objeto matemático de valor não-negativo, fato que, dependendo do contexto, pode ser uma constante, uma função integrável ou ainda, em contextos mais gerais, uma . Se tal objeto é uma constante, então o processo resultante é chamado de homogêneo ou processo de Poisson estacionário. Caso contrário, o parâmetro depende da sua localização no espaço subjacente, o que leva a um processo de Poisson não-homogêneo. Ainda que por vezes referenciado como "processo de ponto de Poisson", a palavra "ponto" é frequentemente omitida, embora existam outros processos de Poisson de objetos, os quais, em vez de pontos, consistem de mais complicado objetos matemáticos tais como linhas e polígonos, e tais processos também podem basear-se no processo de Poisson.