Quantil

Ein Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik für Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder gleichwertig für Zufallsvariablen. Auch die empirische Schätzung eines Quantils aus einer Zufallsstichprobe wird Quantil genannt. Ein -Quantil teilt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in einen linken Teil mit Wahrscheinlichkeit und einen rechten Teil mit Wahrscheinlichkeit . Für ein empirisches Quantil gilt: ein bestimmter Anteil der Werte der Zufallsstichprobe ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25-%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25 % aller Werte ≤ sind als dieser Wert. Quantile formalisieren praktische Aussagen wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ – hierbei ist 1,62 m das 25-%-Quantil. Eine bekannte Darstellung und Veranschaulichung einer Quantilfunktion aus der Ökonometrie ist die Parade der Einkommen (Pen’s Parade) des Ökonomen Jan Pen zur Einkommensverteilung. Genauer ist das -Quantil, wobei eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist, ein Wert einer Variablen oder Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte (salopp „die Verteilung“) in zwei Abschnitte unterteilt: Links vom -Quantil liegt der Anteil aller Beobachtungswerte oder der Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der Dichtekurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche Anteil . Die Zahl heißt auch der Unterschreitungsanteil. Spezielle Quantile sind der Median, die , die , die und die . Als Quantil der Ordnung oder -Quantil (veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Dabei kann der Unterschreitungsanteil auch als eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle bzw. 100 % der Verteilung) angegeben werden.