polytope régulier

En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens. On pourrait également citer des exemples pour des espaces de dimension plus élevée. Le cercle et la sphère, qui présentent un degré de symétrie très élevé, n'en sont pas pour autant considérés comme des polytopes, car ils n'ont pas de face plate.La très forte propriété de symétrie des polytopes réguliers leur confère une valeur esthétique qui fascine tant les mathématiciens que les non mathématiciens. Plusieurs des polytopes réguliers de dimension deux et trois se rencontrent dans la nature et sont connus depuis la Préhistoire. C'est aux mathématiciens grecs de l'Antiquité, notamment Euclide, qu'on en doit le plus ancien traitement mathématique connu. En effet, Euclide rédigea une somme sur les connaissances mathématiques de son temps, qu'il publia sous le titre des Éléments. Ce travail présente une construction d'une géométrie cohérente et d'une théorie des nombres, et se conclut par la description mathématique des cinq solides platoniciens. De nombreux siècles après Euclide, la définition des polytopes réguliers était demeurée inchangée.Pourtant, cette définition sera ensuite progressivement élargie, par à-coups, de façon à englober de plus en plus d'objets nouveaux. Au milieu du deuxième millénaire, les cinq solides platoniciens originaux furent rejoints par les polyèdres de Kepler-Poinsot. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens commencèrent à prendre en compte des polytopes réguliers en dimension quatre et plus, ainsi l'hypercube et le polytope à 24 cellules. Ces derniers ne sont pas faciles à visualiser, mais partagent avec leurs cousins de petite dimension les mêmes propriétés de symétrie. Plus durs à concevoir encore sont les polytopes réguliers abstraits, tels le polytope à (en) ou celui à (en) . Les mathématiciens qui s'intéressent à ces objets persistent cependant à y retrouver les mêmes qualités esthétiques.