riemann-variëteit

In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-variëteit een reële differentieerbare variëteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief-definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor. In andere woorden, een riemann-variëteit is een differentieerbare variëteit, waarvan de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradiënt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-variëteit definiëren. De riemann-variëteit is naast de lorentz-variëteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel. Riemann-variëteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, variëteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen.