rozmaitość riemannowska

Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – to rzeczywista rozmaitość różniczkowa wymiaru w której zdefiniowana jest odległość (metryka) pomiędzy punktami w następujący sposób: (1) jeżeli wprowadzi się w rozmaitości układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne to długość infinitezymalnego wektora łączącego dany punkt z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem rozmaitości zadana jest wzorem gdzie współczynniki stanowią współrzędne tensora metrycznego. Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej. Warunek dodatniej określoności oznacza matematycznie, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora, tj. np. dla każdego (2) Tensor metryczny pozwala obliczać długości krzywych w rozmaitości (patrz niżej). (3) Metrykę (odległość) pomiędzy dowolnymi punktami rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w i łączącej te punkty. Krzywa ta jest linią geodezyjną, gdy jednak punkty są infinitezymalnie odległe, tj. to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego Rozmaitość riemannowska jest wiec przestrzenią metryczną, z metryką zdefiniowaną w oparciu o różniczkowe elementy liniowe których współczynniki są elementami tensora metrycznego. (4) Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitości: krzywizny, pola powierzchni, objętości (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaitości. W ten sposób definiuje się geometrię na rozmaitości. Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna. Uwaga: Jeżeli zamiast warunku dodatniej określoności tensora metrycznego nałoży się mniej wymagający warunek, by tensor był niezdegenerowany, to uzyskuje się w ogólnym przypadku rozmaitości pseudoriemannowskie. Albert Einstein użył teorii pseudorozmaitości Riemanna w sformułowaniu ogólnej teorii względności.