luogo delle radici

In analisi complessa il luogo delle radici è il luogo geometrico delle radici di una funzione complessa descritto al variare di un suo parametro reale, rappresentato sul piano di Gauss. Nel 1948 Evans lo impiegò per la prima volta per determinare la stabilità interna di un sistema dinamico lineare stazionario in retroazione al variare del guadagno d'anello per la funzione di trasferimento d'anello : in questo caso applicativo risulta costituito da rami, indicanti le traiettorie che compiono le radici dipendenti dalle posizioni degli zeri e dei poli della funzione d'anello. Ciò è particolarmente utile in quanto le variabili di stato non controllabili (dovute a rumore a bassa frequenza, derive termiche, incertezza sui parametri e così via), di norma, agiscono prevalentemente su questo, e non sulla posizione delle singolarità, che tipicamente sono note. Il suo uso principale è dedicato a questa funzione, anche al fine della sintesi per stabilire le modifiche necessarie ad un controllore per il raggiungimento di alcune caratteristiche minime come la velocità di risposta.La prima osservazione da fare riguarda la posizione "iniziale" (con k → 0) delle radici. Se ritagliamo dal dominio intorni arbitrariamente piccoli dei poli ad anello aperto, che chiameremo sorgenti, per k prossimo a zero, avremo Dunque, le radici si trovano inizialmente a ridosso delle p sorgenti (per convenzione, la radice di un polinomio va conteggiata un numero di volte pari alla sua molteplicità). N(s) e D(s) definiscono rispettivamente il numeratore e il denominatore di G(s). Va osservato che il numero di radici, a meno di cancellazioni tra kN(s) e Pk(s)=D(s)+kN(s), è esattamente pari al grado di Pk(s); in un sistema strettamente proprio (questa ipotesi verrà mantenuta nel resto dell'articolo), tale quantità pareggia l'ordine di D(s), che è proprio p, per qualunque k. Del resto, una cancellazione comporta l'esistenza di una pulsazione complessa s0 tale per cui valga evidentemente, non esistono radici del genere per k non nullo. In definitiva, possiamo concludere che in un sistema strettamente proprio, il numero di radici si conserva: esso coincide sempre con il numero di sorgenti, p. Si osservi che per k diverso da zero, i poli ad anello aperto non sono sicuramente radici di Pk(s); dunque una radice non stazionerà mai su una sorgente ma, al variare di k, si sposterà descrivendo, come già evidenziato, una curva continua. In ogni punto del luogo infine, il valore assoluto di k coincide con il rapporto tra la produttoria dei valori assoluti dei poli e la produttoria dei valori assoluti degli zeri: