スカラー曲率

リーマン幾何学におけるスカラー曲率（すからーきょくりつ、英: Scalar curvature）またはリッチスカラー（英: Ricci scalar）は、リーマン多様体の最も単純な曲率不変量である。リーマン多様体の各点に、その近傍における多様体の内在的な形状から定まる単一の実数を対応させる。 2次元においては、スカラー曲率はリーマン多様体の曲率を完全に特徴付ける。しかし、次元が3以上の場合は、曲率の決定にはさらに情報が必要である。詳しい議論は(en) を参照。 スカラー曲率はしばしば S (その他の表記としてSc, R)と表され、計量テンソル g に関するリッチ曲率 Ric のトレース として定義される。リッチテンソルは (0,2)-型テンソルであり、トレースをとるためには最初の添字を上げて (1,1)-型テンソルとしなければならないから、このトレースは計量の取り方に依存する。局所座標系を用いて と書き表すことができる。ただし である。座標系と計量テンソルが与えられたとき、スカラー曲率は のように表示できる。ここで Γabc は計量のクリストッフェル記号である。 任意のアフィン接続に対して自然に定義されるリーマン曲率テンソルやリッチテンソルとは異なり、スカラー曲率は（その定義がまさに計量と不可分な方法で与えられたことを思えば）完全にリーマン幾何学の領域に特有の概念であることが分かる。