Лемма Шепли — Фолкмана

Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку.Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей.Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?». Лемма названа в честь Ллойда Шепли и Джона Фолкмана и была впервые опубликована в работе экономиста Росса Старра. В 2012 году Шепли наравне с Элвином Ротом стал лауреатом Нобелевской премии по экономике. Работа Старра, в которой произошло первое упоминание леммы, увидела свет в 1969 году. Тогда экономист сотрудничал с известнейшим американским учёным Кеннетом Эрроу и занимался решением вопроса о существовании некоторых экономических равновесий. В работе Старра проводилось исследование экономики, в которой некоторые геометрически выраженные взаимосвязи, обладавшие свойством невыпуклости, заменялись ближайшими выпуклыми аналогами — выпуклыми оболочками. Старр доказал, что такая «овыпукленная» экономика обладает равновесными состояниями, весьма близкими к квазиравновесиям оригинальной экономики. Более того, учёный доказал, что каждое квазиравновесие обладает рядом оптимальных характеристик подлинного равновесия, которые были найдены в выпуклых экономиках. Работы Шепли, Фолкмана и Старра показали, что основные результаты выпуклой экономической теории являются хорошими приближениями экономики с невыпуклыми элементами. Лемма позволяет предположить, что если число слагаемых множеств превосходит размерность векторного пространства D, то тогда нахождение выпуклых оболочек («овыпукление») требуется только для D слагаемых. Французский экономист Роже Геснери писал: «Получение этих результатов в общем виде стало одним из главных достижений послевоенной экономической теории». Тематика невыпуклых множеств в экономике становилась предметом исследования многих других нобелевских лауреатов. С этим вопросом работали Пол Самуэльсон (премия 1970 года), Кеннет Эрроу (1972), Тьяллинг Купманс (1975), Жерар Дебрё (1983), Роберт Ауман (2005), Пол Кругман (2008). Смежной тематикой выпуклых множеств занимались Леонид Канторович (1975), Роберт Солоу (1987), Леонид Гурвич (2007). В теории оптимизации лемма Шепли — Фолкмана использовалась для объяснения успешного решения задач минимизации сумм нескольких функций, а также для доказательства «закона средних» для случайных множеств (эта теорема была доказана только для выпуклых множеств).