homología simplicial

En topología algebraica, la homología simplicial formaliza la idea del número de agujeros de una dimensión dada en un complejo simplicial. Esto generaliza la idea del número de componentes conexas (caso de dimensión 0). La homología simplicial surge como una manera de estudiar los espacios topológicos cuyos componentes estructurales son n-símplices, los análogos n-dimensionales de los triángulos. Ellos incluyen el punto (símplice de dimensión 0), la línea (símplice de dimensión 1), el triángulo (símplice de dimensión 2) y el tetraedro (símplice de dimensión 3). Por definición, un espacio es homeomórfico a un complejo simplicial (más precisamente la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto) tal como un homeomorfismo está referido a una triangulación del espacio dado. Muchos espacios topológicos de interés pueden ser triangulados, incluyendo cada variedad suave, por Cairns y Whitehead.​ La homología simplicial está definida por un simple método para todo complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado.​ Como resultado esta brinda una forma computable de distinguir un espacio de otro. La homología singular es una teoría relacionada comúnmente más usada por los matemáticos hoy en día. Está definida para todos los espacios topológicos, y concuerda con la homología simplicial para espacios que pueden ser triangulados.​ No obstante, ya que es posible computar la homología de un complejo simplicial automáticamente y eficientemente, es que la homología simplicial se ha vuelto importante para aplicaciones en tiempo real, como análisis de imágenes, imagen médica, y análisis de datos en general.