paradoxo de Skolem

Na lógica matemática e na filosofia, O paradoxo de Skolem é uma aparente contradição que surge a partir do Teorema Löwenheim–Skolem. Thoralf Skolem (1922) foi o primeiro a discutir os aspectos aparentemente contraditórios do teorema, e descobrir a relatividade das noções dos conjuntos teóricos hoje conhecida como não-absoluto. Embora não seja uma real antinomia como o paradoxo de russel, o resultado normalmente é chamado de paradoxo, e foi descrito como "um estado paradoxal das coisas" por Skolem (1922: p., 295). O paradoxo de Skolem diz que cada axiomatização contável da teoria dos conjuntos na lógica de primeira ordem, se é consistente, tem um modelo que é contável. Isso parece contraditório porque é possível provar, a partir desses mesmos axiomas, uma frase que diz intuitivamente (ou que diz precisamente o modelo padrão da teoria) que existem conjuntos que não são contáveis. Assim, a aparente contradição é que um modelo que é a própria contabilidade, e que, portanto, contém apenas conjuntos contáveis, satisfaz a primeira frase para que intuitivamente afirma "há incontáveis conjuntos". Uma explicação matemática do paradoxo, mostrando que não é uma contradição na matemática, foi apresentada por Skolem (1922). O trabalho de Skolem foi recebido por Ernst Zermelo, que argumentou contra as limitações da lógica de primeira ordem, mas o resultado rapidamente veio a ser aceito pela comunidade matemática. As implicações filosóficas do paradoxo de Skolem foram bastante estudadas. Uma linha de pesquisa questiona se é correto afirmar que qualquer sentença da lógica de primeira ordem de fato afirma "há incontáveis conjuntos". Essa linha de pensamento pode ser estendida para questionar se qualquer conjunto é incontável em um sentido absoluto. Mais recentemente, o artigo "Models and Reality" de Hilary Putnam e as respostar a ele, levou a um renovado interesse nos aspectos filosóficos dos resultados de Skolem.