斯科伦悖论

在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem 悖论是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型都有一个初等等价的可数子模型。 这个悖论见于Zermelo-Fraenkel 集合论中。康托尔在 1874年发表的更早的结果是，存在不可数集合比如自然数的幂集，实数的集合，和著名的康托爾集。这些集合存在于任何 Zermelo-Fraenkel 全集中，因为它们的存在可从公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理，我们可以得到只包含可数个对象的集合论的模型。但是，它必须包含上述提及到的不可数集合，这似乎是个矛盾。但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射(注意到雙射函數也是集合，也就是一種特殊的关系)。而模型外的確有這樣的双射。