Suffizienz

In der mathematischen Statistik ist eine suffiziente Statistik, auch erschöpfende Statistik genannt, eine Statistik, die alle relevante Information bezüglich des unbekannten Parameters aus der Zufallsstichprobe enthält. Aus maßtheoretischer Sicht ist Suffizienz bezüglich eines Modells eine mögliche Eigenschaft messbarer Funktionen, die aus dem Stichprobenraum in einen beliebigen Messraum abbilden. Man charakterisiert dabei solche Abbildungen als suffizient (auch: erschöpfend), die einen hochdimensionalen Datenvektor in eine einfachere Form transformieren, ohne dabei wesentliche Informationen über die zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu verlieren. Gegenstück der Suffizienz ist die Verteilungsfreiheit, sie entspricht einer uninformativen Transformation. Anschaulich formuliert sind also genau solche Statistiken suffizient, die sämtliche Informationen über die zu schätzenden Parameter des Modells beinhalten, die in der Stichprobe enthalten sind. Die Suffizienz zählt neben der Erwartungstreue und der Äquivarianz/Invarianz zu den klassischen Reduktionsprinzipien der mathematischen Statistik. Ihre Bedeutung erhält die Suffizienz durch den Satz von Rao-Blackwell. Aus ihm folgt, dass „optimale“ Schätzer im Bezug auf den mittleren quadratischen Fehler oder entsprechende Verallgemeinerungen immer in der Menge der suffizienten Schätzer zu finden sind.