algebra

Algebra (arab. ‏الجبر‎, al-dżabr) – jedna z głównych dziedzin matematyki, zajmująca się wszelkimi strukturami algebraicznymi, czyli zbiorami – lub bardziej ogólnymi klasami – wyposażonymi w działania; struktury te bywają też nazywane algebrami ogólnymi. Początkowym przykładem takiego obiektu, długo definiującym tę dziedzinę, były liczby rzeczywiste ze standardowymi działaniami arytmetycznymi, a także liczby zespolone rozszerzające ten zbiór, wprowadzone właśnie na potrzeby klasycznie rozumianej algebry. Historycznie była to nauka o równaniach algebraicznych, ich układach i ogólnych tożsamościach algebraicznych – regułach manipulacji symbolami zmiennych. Dominowały w niej badania wielomianów o zmiennych rzeczywistych i zespolonych, rozkładu tych wielomianów na czynniki (faktoryzacji), układów równań liniowych i dwumianu Newtona. Te i pokrewne tematy bywają nazywane algebrą elementarną. Badania te doprowadziły do rozważań powiązanych obiektów jak macierze, wyznaczniki czy grupy permutacji. XIX wiek przyniósł też nowe struktury jak kwaterniony, inne i bardziej ogólne wektory, tensory, rozwój algebry Boole’a w elementarnej logice i teorii mnogości oraz arytmetyki modularnej i algebraicznej teorii liczb dzięki rozważaniu liczb całkowitych Gaussa. Wtedy też nazwano własności różnych działań, sformalizowano je i wprowadzono kluczowe pojęcie izomorfizmu, kodyfikujące analogie między strukturami. Przez to algebra stała się nauką znacznie szerszą, badającą między innymi abstrakcyjne grupy i ich szczególne, przemienne przypadki wzbogacone o dodatkowe operacje; przykłady to przestrzenie liniowe i pierścienie, w tym ciała. Przyczyniło się to do redefinicji matematyki, która tym sposobem przestała być nauką wyłącznie o liczbach i figurach. Algebra cieszy się długą historią nieprzerwanego rozwoju oraz wpływu na resztę matematyki i jej zastosowania. Należy do jej najstarszych dziedzin – powstała już w starożytnej Mezopotamii, po czym była rozwijana przez matematyków starogreckich, indyjskich, islamskich i europejskiego średniowiecza. Wyniki matematyków chińskich jak chińskie twierdzenie o resztach stanowiły pogranicze teorii liczb i algebry elementarnej, a później zostały przez algebrę wchłonięte. W czasach nowożytnych algebra popchnęła postępy geometrii dzięki stworzeniu geometrii analitycznej, która przyczyniła się też do powstania analizy. Problemy postawione przez algebrę i jej brak samowystarczalności doprowadziły również do rozwoju kombinatoryki i metod numerycznych. W XIX wieku z udziałem algebry rozwiązano starożytne problemy geometrii związane z konstrukcjami klasycznymi. Wtedy też algebraicznie zunifikowano opis różnych rozwijanych wówczas obszarów geometrii, definiując ją na nowo, w ramach programu erlangeńskiego. Na liście problemów Hilberta z największymi wyzwaniami dla matematyki XX wieku znaczna część dotyczyła algebry, a na niektóre z tych pytań odpowiedziano. W XXI wieku nauka ta jest dalej rozwijana; stanowi język i narzędzie wielu innych dyscyplin jak geometria algebraiczna, topologia algebraiczna, teoria węzłów, analiza – zwłaszcza funkcjonalna – czy teoria języków formalnych. Metody algebraiczne są też stosowane w teorii grafów, a w geometrii różniczkowej stworzyły geometrię nieprzemienną. Do algebry bywa zaliczana także teoria kategorii unifikująca rozmaite obszary matematyki i stanowiąca dla niej fundament alternatywny do teorii mnogości. Wpływ algebry sięga też poza matematykę i naukę ogółem. Litera X, używana jako podstawowe oznaczenie zmiennej i niewiadomej, stała się symbolem i przenośnią niewiedzy lub tajemnicy; wpłynęła tak m.in. na nazwę promieni rentgenowskich, partii politycznych i popkulturę. Naukowiec zajmujący się algebrą to algebraik lub algebraiczka. Przedstawiciele tej dziedziny otrzymywali najwyższe nagrody dostępne matematykom jak Medal Fieldsa czy Nagroda Abela. Istnieją również wyróżnienia w całości poświęcone algebrze jak jedna z dziedzin Nagrody Cole’a przyznawanej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (ang. AMS).