zbiór algebraiczny

Zbiór algebraiczny – podzbiór przestrzeni afinicznej gdzie oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru wielomianów pierścienia Innymi słowy, zbiór nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru i oznaczamy ). Jeśli jest ideałem pierścienia generowanym przez zbiór to Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany które generują ideał Z drugiej strony dla każdego wielomianu istnieją wielomiany że Wynika stąd, że każde zero wielomianów jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń natomiast zerem ideału jednostkowego jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni Topologia Zariskiego przestrzeni nie jest topologią Tichonowa.