Bazel-probleem

Het Bazel-probleem is een beroemd probleem uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. Het Bazel-probleem werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli, en werd bijna honderd jaar later, in 1735, opgelost door Leonhard Euler. Het probleem is naar de stad Bazel genoemd, de thuisstad van zowel Euler als de familie Bernoulli. Diverse Bernoulli's waren er eerder niet in geslaagd dit probleem op te lossen. Gezien het feit dat het probleem drie generaties lang, ook door de vooraanstaande wiskundigen, niet kon worden opgelost, bracht zijn bewijs Euler, op zijn achtentwintigste, ogenblikkelijke roem. Door gebruik te maken van reeksontwikkelingen gaf Euler een oplossing, waarmee meer kan worden bewezen dan alleen het Bazel-probleem. Zijn ideeën werden meer dan honderd jaar later, in 1859, door Bernhard Riemann opgepakt en verder uitgewerkt in diens vruchtdragende artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (Over het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven getal), waarin Riemann de Riemann-zèta-functie definieerde en tevens de basale eigenschappen van deze zèta-functie bewees. Het Bazel-probleem vraagt naar de sommatie van de multiplicatieve inversen van de kwadraten van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen de (exacte) som van de reeks: Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644 934. Het Bazel-probleem vraagt echter zowel naar de exacte som van deze rij, alsook naar het bewijs dat deze som correct is. Euler slaagde erin te bewijzen dat: en maakte deze ontdekking in 1735 bekend. Zijn argumenten waren echter gebaseerd op manipulaties die ook in zijn tijd niet waren toegestaan. In 1741 gaf hij alsnog een wiskundig sluitend bewijs.