inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration * Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . L'inégalité est vraie au rang . On la suppose vraie à un rang et l'on considère une famille de évènements. Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable d'évènements. Pour tout entier strictement positif , soit ; alors . L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ; en effet, et pour tout , , donc . * Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable). On pose et pour tout , . Alors , et les évènements sont deux à deux incompatibles ;en outre, pour tout , donc (croissance de ). De tout ceci, il résulte : . En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure). Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).