Cauchy-Schwarz olikhet

Cauchy-Schwarz olikhet, alternativt Cauchys olikhet, Schwarz olikhet eller Cauchy-Bunyakovski-Schwarz olikhet, matematisk olikhet uppkallad efter Augustin Louis Cauchy, samt Hermann Amandus Schwarz. Olikheten är användbar i en mängd olika områden inom matematiken, som till exempel linjär algebra, för serier och integraler samt för varianser och kovarianser. Olikheten säger den att om och är vektorer i reella eller komplexa inre produktrum så gäller att Likhet gäller om och endast om och är linjärt beroende (i en geometrisk tolkning betyder detta att de är parallella). Detta kan jämföras med egenskapen att den inre produkten mellan två vektorer är noll om de är ortogonala (i den geometriska tolkningen vinkelräta). Man kan även definiera Cauchy-Schwarz olikhet med hjälp av normen till sitt inre produktrum: Olikheten kan även skrivas för serier samt på integralform om f och g är komplexvärda funktioner av x: Likhet inträffar i summa-varianten om talföljderna och är proportionella, med samma konstant för alla , det vill säga , där är ett reellt tal. Likhet i integralversionen inträffar mer eller mindre analogt (det blir naturligtvis fler detaljer, eftersom funktionerna inte nödvändigtvis behöver vara kontinuerliga utan exempelvis kontinuitet räcker). Cauchy 1821 lyckades visa olikheten skrivet med normen för rella vektorer i ett ändligt-dimensionellt rum, och 1859 insåg hans student att man genom att gå i gräns kan få olikheten på integralform. 1885 tog Schwarz fram det generella resultatet för inre produktrum.