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Chi-Quadrat-Verteilung
Sign in to saveAlso known as chi-square distribution, χ2 distribution
Verteilung über der Summe quadrierter unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen
Key facts
- Notation
- χ 2 ( k ) {\displaystyle \chi ^{2}(k)\;} or χ k 2 {\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}
- Parameters
- k ∈ N ∗ {\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}~~} (known as "degrees of freedom")
- Support
- x ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}
- 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x ( k / 2 ) − 1 e − x / 2 {\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{(k/2)-1}e^{-x/2}\;}
- Cdf
- 1 Γ ( k / 2 ) γ ( k 2 , x 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma {\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}\;}
- Mean
- k {\displaystyle k}
- Median
- ≈ k ( 1 − 2 9 k ) 3 {\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}
- Mode
- max ( k − 2 , 0 ) {\displaystyle \max(k-2,0)\;}
- Variance
- 2 k {\displaystyle 2k\;}
- Skewness
- 8 / k {\textstyle {\sqrt {8/k}}\,}
- Excess kurtosis
- 12 k {\displaystyle {\frac {12}{k}}}
- Entropy
- k 2 + log ( 2 Γ ( k 2 ) ) + ( 1 − k 2 ) ψ ( k 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\log \left(2\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right)\\&\!+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi {\left({\frac {k}{2}}\right)}\end{aligned}}}
- Mgf
- ( 1 − 2 t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2t)^{-k/2}} for t < 1 2 {\displaystyle t<{\tfrac {1}{2}}\;}
- Cf
- ( 1 − 2 i t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}
- Pgf
- ( 1 − 2 ln t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}} for 0 < t < e {\displaystyle 0<t<{\sqrt {e}}\;}
via Wikipedia infobox
Research
3,285 papers- [Pearson's chi-squared test].Tidsskrift for den Norske laegeforening : tidsskrift for praktisk medicin, ny raekke · 2019
- Sequential rerandomization.Biometrika · 2018
- Chi-squared test.Journal of clinical nursing · 2000
- A parametric meta-analysis.Statistics in medicine · 2019
- Uncertainty-Aware Spectral Visualization.IEEE transactions on visualization and computer graphics · 2025
via PubMed
Wikidata facts
- Subclass of
- continuous probability distribution
- Part of
- statistics
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- Commons category
- Chi-square distribution
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Sources (1)
via Wikidata · CC0
Article · Deutsch
Die Chi-Quadrat-Verteilung bzw. -Verteilung (ältere Bezeichnung: Helmert-Pearson-Verteilung, nach Friedrich Robert Helmert und Karl Pearson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen einzigen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade . Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung abgeleitet werden kann: Hat man Zufallsvariablen , die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen . Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei Schätzfunktionen wie der Stichprobenvarianz zur Schätzung der empirischen Varianz auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten. Kann z. B. eine Gerade die Daten erklären, oder braucht man doch eine Parabel oder vielleicht einen Logarithmus? Man wählt verschiedene Modelle aus, und dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten Chi-Quadrat-Wert, bietet die beste Erklärung der Daten. So stellt die Chi-Quadrat-Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die empirische Varianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind und im Artikel Chi-Quadrat-Test beschrieben. Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde 1876 eingeführt von Friedrich Robert Helmert, die Bezeichnung stammt von Karl Pearson (1900).
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