funkcja ciągła

Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako: 1. * funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko, 2. * funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru. Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu): Zbiór staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów Musi ona spełniać pewne warunki. Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę. Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ). Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli symbole i to kwantyfikatory. Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.