Soldados de Conway

El problema de los soldados de Conway o el problema de las damas (en referencia al juego de mesa) es un juego matemático para una persona que fue desarrollado y analizado por el matemático John Horton Conway en 1961. Es una variante del solitario senku que se realiza en un tablero infinito. El tablero se divide por una línea horizontal que se extiende de forma indefinida, sobre la cual aparecen celdas vacías y en la parte inferior una cantidad arbitraria de piezas o soldados, una por casilla. Al igual que en el juego de damas, los movimientos consisten en que una pieza brinque sobre otra pieza adyacente, ya sea vertical u horizontalmente (pero no en diagonal) y "capturándola" (eliminándola del tablero) en el proceso. El objetivo del juego es llevar a un soldado por encima y tan lejos de la línea horizontal como sea posible. Conway demostró, que independientemente de la estrategia usada, no existe una serie de movimientos que permitan a un soldado avanzar más de cuatro filas por encima de la línea horizontal. El argumento de la prueba involucra la asignación de coeficientes a las casillas de una forma muy particular (y relacionada con la proporción áurea) de tal manera que la suma de los coeficientes asignados a todas las fichas del tablero no pueda ser incrementada por ningún movimiento permisible. Este argumento ha sido presentado en diversos libros de matemática popular. Simon Tatham y Gareth Taylor han demostrado que es posible alcanzar la quinta fila mediante una cantidad infinita de movimientos, mismo resultado que aparece también en un artículo de Pieter Blue y Stephen Hartke. Cuando se permiten saltos en diagonal, es posible llevar a los soldados hasta la octava fila (pero no hasta la novena). Se ha demostrado también que, en la versión n-dimensional del juego, la máxima fila que se puede alcanzar es 3n-2. El argumento de Conway demuestra que la fila 3n-1 no es alcanzable aunque es considerablemente más complicado demostrar que sí es posible llegar a la fila 3n-2, como demuestran en el artículo de Eriksson y Lindstrom.