有限元素法

有限元素法（英語：Finite element method），即使用有限元素分析物理現象，是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的數值方法。 在解偏微分方程的过程中，主要难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程，并且该过程还需要保持数值稳定性。目前有许多处理的方法，他们各有利弊。当区域改变时（就像一个边界可变的固体），当需要的精确度在整个区域上变化，或者当解缺少时，有限元方法是在复杂区域（像汽车、船体结构、输油管道）上解偏微分方程的一个很好的选择。 為了解決問題，有限元素法將大型物理系統細分為更小、更簡單的部分，稱為有限元（英文：finite element）。這是通過在空間維度上進行特定的空間離散化來實現的，該離散化是通過構建對象的網格實現的：解決方案的數值域具有有限數量的點。邊值問題的有限元素法公式化最終形成了一個代數方程組。該方法在域上近似未知函數。然後，將對這些有限元建模的簡單方程式組合成一個對整個問題進行建模的較大方程式系統。然後，有限元素法通過最小化關聯的誤差函數，使用來自變異演算的變異方法來近似求解。 將整個物理系統細分為更簡單的部分具有以下優點： * 精確表示複雜的幾何形狀。 * 可以描述多樣的材料特性。 * 輕鬆表示整體解決方案。 * 精確描述局部現象。 該方法的工作流程包括 （1）將問題的域劃分為子域的集合，每個子域由一組元素方程表示為原始問題，然後（2）系統地將所有元素方程組重組為用於最終計算的全域方程組。 在上面的第一步中，元素方程是簡化過的方程，可以局部地近似要研究的原始復雜方程組，其中原始方程通常是偏微分方程。為了求此方程式的近似解，通常將有限元素法作為伽辽金法的特例來處理。用數學語言來說，該過程是將殘差和加權函數取內積，並將該積分設為零。簡而言之，它是通過將試驗函數擬合到偏微分方程中來最小化近似誤差的過程。殘差是由試驗函數引起的誤差，權重函數是投影殘差的多項式逼近函數。該過程消除了偏微分方程中的所有空間導數，從而使偏微分方程局部近似為一組穩態問題的代數方程，或是一組用於瞬態問題的常微分方程。如果基礎偏微分方程是線性的，則元素方程也是線性的，反之亦然。穩態問題中出現的代數方程組，便利用數值線性代數方法求解，而瞬態問題中出現的常微分方程組則使用其他數值方法（例如欧拉方法或Runge-Kutta法）通過數值積分來求解。