広義固有ベクトル

線型代数学において，n × n 行列 A の広義（あるいは一般）固有ベクトル（こうぎこゆうベクトル，いっぱんこゆうベクトル，英: generalized eigenvector）は，（通常の）固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである． V を n 次元ベクトル空間とする．φ を V から V への線型写像とする．A をある基底についての φ の行列表示とする． V の完全な基底をなす A の n 個の線型独立な固有ベクトルがいつも存在するとは限らない．つまり，行列 A は対角化可能とは限らない．これは少なくとも1つの固有値 λi の代数的重複度がその幾何学的重複度（行列 A − λiI の，あるいはその零空間の次元）よりも大きいときに起こる．この場合，λi はと呼ばれ，A はと呼ばれる． λi に対応する広義固有ベクトル xi は，行列 A − λiI とあわせて，V の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する． 広義固有ベクトルを用いて，A の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならば V の完全な基底に拡張できる．この基底は A に相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」J を決定するのに用いることができ，これは A のあるを計算するのに有用である．行列 J は A が対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系 x′ = Ax を解く際にも有用である．