مبرهنة التدرج

تنص مبرهنة التدرج (بالإنجليزية: Gradient theorem)‏، والمعروفة أيضًا باسم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل للتكاملات الخطية، أنه يمكن تقييم تكامل خطي من خلال حقل التدرج من خلال تقييم الحقل السلمي الأصلي في نقاط النهاية للمنحنى. المبرهنة هي تعميم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لأي منحنى في مستوى أو فضاء (بشكل عام n الأبعاد) بدلاً من مجرد الخط الحقيقي. لتكن φ : U ⊆ ℝn → ℝ دالة قابلة للاشتقاق باستمرار و γ أي منحنى في U يبدأ عند p وينتهي عند q. تنص المبرهنة على أن: (حيث تشير ∇φ إلى تدرج الحقل المتجهي لـ φ) تستلزم نظرية التدرج بأن التكاملات الخطية عبر حقول التدرج مستقلة عن المسار. في الفيزياء هذه المبرهنة هي إحدى طرق تعريف القوة المحافظة. بوضع φ ككمون، ∇φ هو حقل محافظ. لا يعتمد الشغل الذي تقوم به القوى المحافظة على المسار الذي يتبعه الكائن، ولكن يعتمد فقط على نقاط النهاية، كما تظهر المعادلة أعلاه.