グロス＝ピタエフスキー方程式

グロス＝ピタエフスキー方程式（グロス＝ピタエフスキーほうていしき、英: Gross–Pitaevskii equation; GPE）は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー＝フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。 グロス＝ピタエフスキー方程式の名前は、とに因む。グロス＝ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。 ハートリー＝フォック近似において N 体のボソン系全体を表す波動関数 Ψ は、個々のボソンに対応する波動関数たち {ψi}i ∈ [N] の積状態として表すことができる。 ここで ri は i 番目のボソンの位置を表す。 擬ポテンシャルモデルのハミルトニアン H として以下のものを考える。 m はボソンの質量、V(ri) は外場によるポテンシャル、as はボソン-ボソン散乱長 (boson-boson scattering length) を表す。また δ(·) はデルタ関数である。一粒子波動関数がグロス＝ピタエフスキー方程式 を満たす場合、規格化条件 の下で、全系の波動関数はハミルトニアンの期待値を最小化する。 上記の方程式はボース＝アインシュタイン凝縮体の一粒子波動関数に対するモデル方程式となっている。グロス＝ピタエフスキー方程式はギンツブルグ＝ランダウ方程式と似た形をしており、また非線形シュレーディンガー方程式として言及されることも多い。 ボース＝アインシュタイン凝縮体とは、すべてのボソンが同じ量子状態をとり、従ってすべてのボソンが同じ波動関数によって記述されるようなボソン気体である。自由粒子の運動は一粒子のシュレーディンガー方程式によって記述できる。一方で実在気体に関して、粒子間の相互作用は適当な多体のシュレーディンガー方程式を扱う必要がある。気体粒子間の平均距離が散乱長より大きい場合（このような状況を希薄極限 (dilute limit) と呼ぶ）、粒子間の相互作用ポテンシャルを近似することができ、グロス＝ピタエフスキー方程式においては擬ポテンシャルで置き換えられる。 グロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性は粒子間相互作用に起源を持つ。粒子間相互作用とグロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性との関係は、グロス＝ピタエフスキー方程式の相互作用結合定数をゼロへ持って行くことで明らかになる（詳細は）：結合定数の影響を無視できるなら、グロス＝ピタエフスキー方程式はトラップポテンシャルに束縛される粒子の一粒子シュレーディンガー方程式へと回帰する。