голономия

Голоно́ми́я — один из инвариантов связности в расслоении над гладким многообразием, сочетающий свойства кривизны и монодромии, и имеющий важное значение как в геометрии, так и геометризированных областях естествознания, таких как теория относительности и теория струн. Обыкновенно речь идёт о голономии связностей в векторном расслоении, хотя в равной степени имеет смысл говорить о голономии связности в главном расслоении или даже голономии в локально тривиальном топологическом расслоении. Напомним, что связность в векторном расслоении есть оператор, сопоставляющий каждому пути преобразование параллельного переноса . Однако, в отличие от ситуации, часто встречающейся в топологии, преобразование параллельного переноса меняется, если менять сам путь, даже если его концы при этом неизменны (не зависит от небольших изменений пути оно только в весьма частном, хотя и очень важном, случае ). Голономия есть мера того, насколько параллельный перенос может зависеть от малых шевелений пути. Именно, составной путь, пройденный из в вдоль , а затем обратно вдоль его вариации , можно воспринимать как замкнутый путь из точки в себя. Множество всех преобразований слоя , получаемых переносами вдоль замкнутых путей, начинающихся и кончающихся в , образует группу, которая называется группой голономии в точке и обозначается . Если рассматривать лишь параллельные переносы вдоль тех путей, которые стягиваемы в точку, получится её нормальная подгруппа, называемая группой локальной, или же ограниченной голономии, обозначаемая . Группы голономии в разных точках можно отождествить, соединив эти точки путём, однако это отождествление будет, вообще говоря, зависеть от выбора пути. Впрочем все эти группы изоморфны, что позволяет говорить просто о группе голономии и группе локальной голономии безотносительно выбора точки. Группа голономии в точке имеет по своей конструкции естественное представление в пространстве , называемое представлением голономии. Для плоской связности группа локальной голономии, по определению, тривиальна, а группа голономии есть группа монодромии этой плоской связности. В общем случае монодромия неплоской связности определяется через голономию, как факторгруппа .