начальный и терминальный объекты

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм . Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм . Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом. Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный. Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы , то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.