Teorema de Karhunen-Loève

En la teoría de procesos estocásticos, el Teorema de Karhunen-Loève (así llamado debido a y ) es una representación de un proceso estocástico como una combinación lineal infinita de funciones ortogonales. Esta representación es análoga a la representación en series de Fourier de una función definida en un intervalo acotado de números reales. A diferencia de una serie de Fourier, en la cual los coeficientes son números reales y la base de expansión está compuesta por funciones senoidales (es decir, funciones seno y coseno), los coeficientes del teorema de Karhunen-Loève son variables aleatorias y la base de expansión depende del proceso. De hecho, la base de funciones ortogonales que se usa para la representación queda determinada por la función de covarianza del proceso. Si vemos un proceso estocástico como una función aleatoria F, es decir, una en la que el valor aleatorio es una función en un intervalo [a, b], entonces este teorema puede considerarse como una expansión ortonormal aleatoria de F. En el caso de un proceso estocástico centrado {Xt} t ∈ [a, b] (donde centrado se refiere a que los valores esperados E(Xt) están definidos y son iguales a 0 para todo t), el satisfacer una condición de continuidad técnica, admite la descomposición donde Zk son variables aleatorias de a pares y las funciones ek son funciones reales continuas en [a, b], ortogonales de a pares en L2[a, b]. El caso general de un proceso no centrado puede representarse expandiendo la función de expectación (que es un función no-aleatoria) en la base ek. Aún más, si el proceso es Gaussiano, entonces las variables aleatorias Zk son Gaussianas y estocásticamente independientes. Este resultado generaliza la transformada de Karhunen-Loève. Un ejemplo importante de un proceso estocástico real centrado en [0,1] es el proceso de Wiener y el teorema de Karhunen-Loève permite obtener una representación ortogonal canónica de este. En este caso, la expansión consiste de funciones senoidales. A la expansión anterior en variables aleatorias no correlacionadas se la conoce también como la expansión de Karhunen-Loève.