transformada de Laplace

Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. A sua teoria foi desenvolvida mais a fundo entre o século XIX e o início do século XX por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich. A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa. Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte uma equação diferencial em equação algébrica e uma convolução em multiplicação. A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o cálculo operacional. Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente, refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.A transformada de Laplace da função é uma função de , que representa a frequência. Utilizamos então como notação a letra maiúscula para a transformada e letra minúscula para a função. Ex: ou . Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite. Ex: , porém esse limite só existe se o . Então conclui-se que: Agora se considerarmos que realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que: = = = Com isso concluímos uma expressão para a transformada de : A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.