funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare. L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale (spesso denotato anche con o ). In , se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna: allora ogni funzionale lineare può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo: Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga e il vettore colonna : I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann: che è definito sullo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo e mappa nel campo dei reali . La linearità si vede da note proprietà degli integrali: I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.