curvatura média

Na matemática, a curvatura média de uma superfície é uma medida extrínseca da curvatura que vem da geometria diferencial e descreve localmente a curvatura de uma superfície incorporada em algum ambiente espacial, como o espaço euclidiano . O conceito foi usado por Sophie Germain em seu trabalho sobre a teoria da elasticidade . Jean Baptiste Marie Meusnier o usou em 1776, em seus estudos sobre superfícies mínimas . É importante na análise de superfícies mínimas, que possuem curvatura média zero, e na análise de interfaces físicas entre fluidos (como filmes de sabão ) que, por exemplo, apresentam curvatura média constante em fluxos estáticos, pela equação de Young-Laplace . Deixe ser um ponto na superfície . Cada plano através de contendo a linha normal para corta em uma curva (plana). Fixando uma opção de unidade normal fornece uma curvatura específica para essa curva. Como o plano é rotacionado por um ângulo (sempre contendo a linha normal), a curvatura pode variar. A curvatura máxima e a curvatura mínima são conhecidas como as curvaturas principais de . A curvatura média em é então a média das curvaturas específicas por todos os ângulos : . Aplicando o teorema de Euler, vemos que isso é igual à média das curvaturas principais : De maneira mais geral , para uma Hípersuperfície a curvatura média é dada como Mais abstratamente, a curvatura média é o traço da segunda forma fundamental dividida por n (ou equivalente, o operador de forma ). Além disso, a curvatura média pode ser escrita em termos do derivada covariante como usando as relações de Gauss-Weingarten, onde é uma hipersuperfície suavemente incorporada, um vetor normal unitário e o tensor métrico . Uma superfície é uma superfície mínima se e somente se a curvatura média for zero. Além disso, uma superfície que se desenvolve sob a curvatura média da superfície , diz-se que obedece a uma equação do tipo calor chamada equação de fluxo de curvatura média . A esfera é a única superfície incorporada de curvatura média positiva constante, sem limites ou singularidades. No entanto, o resultado não é verdadeiro quando a condição "superfície incorporada" é enfraquecida para "superfície imersa".