Orthogonalisierungsverfahren
Sign in to saveIn linear algebra, orthogonalization is the process of finding a set of orthogonal vectors that span a particular subspace. Formally, starting with a linearly independent set of vectors {v1, ... , vk} in an inner product space (most commonly the Euclidean space Rn), orthogonalization results in a set of orthogonal vectors {u1, ... , uk} that generate the same subspace as the vectors v1, ... , vk. Every vector in the new set is orthogonal to every other vector in the new set; and the new set and the old set have the same linear span.
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Mit Orthogonalisierungsverfahren bezeichnet man in der Mathematik Algorithmen, die aus einem System linear unabhängiger Vektoren ein Orthogonalsystem erzeugen, das den gleichen Untervektorraum aufspannt. Das bekannteste Verfahren dieser Art ist das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Dieses kann man für beliebige Vektoren aus einem Prähilbertraum verwenden. Oftmals ist die Orthogonalisierung von Vektoren zwar namensgebend, aber nicht das eigentliche Ziel solcher Verfahren. So benutzt man in der Numerischen Mathematik Orthogonalisierungsverfahren wie die Householder-Transformation oder die Givens-Rotation hauptsächlich um eine QR-Zerlegung mit einer orthogonalen Matrix und einer Dreiecksmatrix zu erzeugen. Die Spaltenvektoren der Matrix sind dann die orthogonalisierten Spaltenvektoren der Matrix . Hauptsächlich erhält man aber eine stabile Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Zur Rückführung eines verallgemeinerten Eigenwertproblems auf ein spezielles Eigenwertproblem kann man Symmetrische Orthogonalisierung sowie verwenden.
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