道

数学の特に位相幾何学における道（みち、英: path; パス、経路）は、単位閉区間 I ≔ [0, 1] からの連続写像を言う。より明確に、位相空間 X 内の道とは、連続写像 f: [0, 1] → X を言い、f(0) をこの道の始点 (initial point)、f(1) を終点 (terminal point) と呼ぶ。始点 x および終点 y を持つ道はしばしば「x から y へ結ぶ道」などと呼ばれる。この場合の「道」は X の曲線的な部分集合というばかりではなく、それを追跡するまで込めて言うことに注意する（例えば、[0, 1] 上で f(x) ≔ x と g(x) ≔ x2 は実数直線内の相異なる道を表す）。 位相空間 X 内の、点 x ∈ X を基点 (base, base point) とする閉道（あるいはループ）とは x から x へ結ぶ道を言う。写像の言葉で書けば、閉道は f: I → X（ただし、f(0) = f(1) と書けるが、単位円 S1 からの写像 f: S1 → X と書くこともできる（位相幾何学において S1 は I を 0 ∼ 1 を同一視して得られる商位相空間（等化空間）と見なすことができることに注意する）。位相空間 X 内の閉道全体の成す集合を一つの位相空間と見ることができ、X の ΩX と呼ぶ。 任意の二点を結ぶ道が存在する位相空間は弧状連結（あるいは道連結）であると言う。任意の位相空間は、弧状連結成分に分割することができる。空間 X の弧状連結成分全体の成す集合はしばしば π0(X) と書かれる。 道および閉道は点付き空間においても定義され、ホモトピー論において重要である。X が基点 x0 を持つ位相空間とすれば、X 内の道とは基点 x0 を始点とするものを言い、同様に X 内の閉道は空間の基点 x0 を基点とするものを言う。