путь

В математике путь в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f из единичного отрезка I = [0,1] в X f : I → X. Начальной точкой пути является f(0), а конечной точкой — f(1). Часто говорят о «пути из x в y», где x и y — начальная и конечная точки пути. Заметим, что путь — это не просто подмножество X, которое «выглядит как» кривая, он также включает параметризацию. Например, отображение f(x) = x и g(x) = x2 представляют два различных пути от 0 до 1 на вещественной прямой. Петля в пространствe X с базовой точкой x ∈ X — это путь из x в x. Петля может также быть определена как отображение f : I → X с f(0) = f(1) или как непрерывное отображение единичной окружности S1 в X f : S1 → X. Последнее вытекает из того, что S1 можно считать факторпространством I при отождествлении 0 с 1. Множество всех петель в X образует пространство, называемое пространством петель пространства X. Топологическое пространство, в котором существует путь, соединяющий любые две точки, называется линейно связанным. Любое пространство можно разбить на множество линейно связанных компонент. Множество линейно связанных компонент пространства X часто обозначается π0(X);. Можно также определить пути и петли в , которые являются важными в теории гомотопий. Если X является топологическим пространством с выделенной точкой x0, то путь в X — это путь, начальной точкой которого является x0. Подобным образом петля в X — это петля в точке x0.