función real

Sea un conjunto cualquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las funciones de en .Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los números reales se pueden extender a , como veremos a continuación. Sean elementos de . Se definen a continuación operaciones entre esas funciones. * Suma de funciones: * Resta de funciones: * Producto de funciones: También, se puede extender a relaciones de igualdad. * si y solo si, para todo . La manera en que se hace la extensión, garantiza que muchas de las propiedades de los números reales se extienden a . Se indican a continuación aquellas más importantes. * La suma de funciones es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante , con opuesto aditivo para cada función . * La resta es tal que . * La multiplicación es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo tienen recíprocos. * La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Nótese que todas las propiedades anteriores son análogas a las propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene al menos dos elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que y definamos tales que y y . Se ve, inmediatamente, que el producto es la función constante 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es. El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X. * Sea . Entonces, cada función de define una pareja de números que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado . Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con . * Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con . * Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con . Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar. * Sea , el conjunto de los números naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto como la suma y multiplicación usual de sucesiones.