Сепарабельный многочлен

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем , все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля . Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной . Это последнее означает, что сам многочлен (а не только его неприводимые над сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны. Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля. Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в положительной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена должно иметь место представление: , где — также неприводимый многочлен, а — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен: над полем рациональных функций от одной переменной над полем из элементов . Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении к полю ): , иными словами, является (единственным) корнем кратности .