Menge

Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Die Anzahl kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis hin zu unendlich vielen reichen. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik; mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre. Bei der Bildung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es muss für jedes Objekt zweifelsfrei feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (wird diese Bedingung aufgeweicht, gelangt man auf den nichtklassischen Begriff einer Fuzzy-Menge). Der Grenzfall einer Menge, die null Elemente enthält, heißt „leere Menge“. Im Gegensatz zu der Vielzahl sonstiger Mengen, gibt es nur genau eine leere Menge. Beim Begriff der Menge bleibt außer Betracht, ob es unter den Elementen zusätzlich irgendeine Ordnung geben könnte, Mengen sind zunächst ungeordnete Gebilde. Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, dass eine Menge ein Element „mehrmals enthalten“ könnte. (Wenn ein Konstrukt gewünscht ist, das wie eine Menge Elemente enthält und zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Exemplaren jedes Elements vorsieht, so heißt dies eine Multimenge). In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, die als ihre Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes enthalten. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z. B. auch die Menge, die aus einem Apfel, der Zahl Fünf, dem Patienten Maier und der leeren Menge besteht (eine Menge aus 4 Elementen). Eine Menge kann, wie im Beispiel soeben, durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein, sie kann aber auch durch eine Beschreibung gegeben sein, die die infrage kommenden Elemente allgemein charakterisiert (in diesem Fall ergibt sich eine einheitliche Sorte von Elementen).