Número complejo hiperbólico

En álgebra abstracta, se define un número complejo hiperbólico como aquel que tiene dos componentes reales x e y, y se escribe z = x + y j, donde j 2 = 1. El conjugado de z es z∗ = x − y j. Dado que j 2 = 1, el producto de un número z por su conjugado es zz∗ = x 2 − y 2, una que se corresponde con la expresión N(z) = x 2 − y 2. El conjunto D de todos los números complejos hiperbólicos z = x + y j para x, y ∈ R forma un álgebra sobre el campo de los números reales. Dos números complejos hiperbólicos w y z tienen un producto wz que satisface la condición de que N(wz) = N(w)N(z). Esta composición de N sobre el producto del álgebra convierte a (D, +, ×, *) en un . Un álgebra similar basada en R2 y con las operaciones de suma y multiplicación como componentes, (R2, +, ×, xy), donde xy es una forma cuadrática en R2, también forma un espacio cuadrático. El homomorfismo de anillos relaciona formas cuadráticas proporcionales, pero la aplicación NO es una isometría, ya que la identidad multiplicativa (1, 1) de R2 está a una distancia √2 de 0, que se normaliza en D. Los números complejos hiperbólicos tienen muchos otros nombres, que figuran más adelante en la sección . También se debe consultar el artículo para conocer las funciones que operan con números complejos hiperbólicos.