伴四元數

在抽象代数中，分裂四元数（split-quaternions）或反四元数（coquaternions）是一种四维的结合代数的元素，由在1849年引入，当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ，它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和。（例如， 是幂等的零因子，而 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 × 2的实矩阵同构。 集合 组成一个基。 这些元素的积由 ,,,,, 给出。因此。 由以上定义可得，集合在分裂四元数乘法的定义下是一个群，与二面体群同构，称为正方形的对称群。 分裂四元数的共轭。 由于其基向量的反交换性，分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型 给出。 给定两个反四元数和，有，意味着 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数， 是其范数。 任何满足，的反四元数q称为零向量（Null vector而非Zero vector)，它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数"，因此反四元数也被称为分裂四元数。 当范数非零时，有倒数，即 . 集合 是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合组成环 ，其单位群为。全体的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 ，且与同构（见下）。 历史上讲，分裂四元数早于凯莱的矩阵代数；分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。