potentiel vecteur

Concept fondamental en analyse vectorielle et pour ses implications en physique, le potentiel d'un champ vectoriel est une fonction scalaire ou vectorielle qui, sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité, permet des représentations alternatives de champs aux propriétés particulières. Ainsi, pour tout champ vectoriel qui satisfait ces conditions, le théorème de Helmholtz-Hodge assure qu'il existe un potentiel vecteur (défini à un gradient près) et un potentiel scalaire (défini à une constante près) tels que est égal à la différence entre le rotationnel de et le gradient de . On écrit : Notons que, sur tout ouvert étoilé (ouvert tel qu'il existe un point pour lequel tous les segments entre ce point et n'importe quel autre point de l'ouvert est dans l'ouvert), par application du théorème de Poincaré : * Un champ vectoriel irrotationnel (de rotationnel nul) peut être identifié au gradient d’un potentiel scalaire. La réciproque est toujours vraie, y compris en dehors du cas d'un ouvert étoilé. * Un champ vectoriel solénoïdal (de divergence nulle) peut être identifié au rotationnel d’un potentiel vecteur. La réciproque est toujours vraie, y compris en dehors du cas d'un ouvert étoilé. Dans les deux cas, le champ d’origine dérive d’un potentiel (allusion entre une fonction et sa primitive). Ces résultats s’inscrivent comme des cas particuliers du théorème fondamental du calcul vectoriel. Remarque. En physique, les potentiels sont souvent définis sur des ouverts non étoilés et les propriétés précédentes ne fonctionnent plus (seule leur réciproque est toujours vraie) car, par exemple, pour annuler sa divergence, il faut et il suffit que le potentiel scalaire d'un champ satisfasse l'équation de Poisson . Un exemple courant est le potentiel électrostatique en coordonnées sphériques (ici, est défini sur qui est un ouvert non étoilé). Ces potentiels permettent non seulement d’appréhender certains champs vectoriels sous un angle complémentaire (pour un traitement parfois plus aisé), mais ils légitiment des abstractions essentielles comme, en physique, l’énergie potentielle associée à un champ de forces conservatives.