Problem Waringa

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. ). Ogólny zapis hipotezy: Dla każdej liczby całkowitej jest liczba że każda liczba całkowita dodatnia może być zapisana jako: z nieujemną liczbą całkowitą Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa. Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood). W roku 1909 David Hilbert wykazał, że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego liczba oznacza najmniejsze takie Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji . Kilka pierwszych wartości funkcji to: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055... Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma -tych potęg, np. W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).