双一次変換

双一次変換（そういちじへんかん Bilinear transform 双一次Z変換 タスティン変換、台形差分法 Trapezoidal methodとも呼ばれる）は、デジタル信号処理において、連続時間領域における線型時不変 (LTI)フィルタの伝達関数(と呼ばれる)を離散時間領域における線形シフト不変フィルタの伝達関数(スイッチトキャパシタで構成されるアナログフィルタも離散時間フィルタだが、デジタルフィルタと呼ばれる)に変換するのによく用いられる等角写像のひとつである。この変換では、上の、を上のの単位円に写像する。双一次変換は元のフィルタの安定性を保存し、連続時間フィルタの周波数応答のすべての点を離散時間フィルタの周波数応答の対応する点に1対1に写像する。ただし以下の周波数歪みの項で述べるようにもとの周波数とはすこし異なる周波数へ写像される。この歪みは低周波域ではほとんど目立たないが、ナイキスト周波数に近づくほど顕著になる。 単位インパルスによってサンプリングされた離散時間信号にラプラス変換を行うと結果は正確にZ変換として表されるが、双一次変換は以下の式に示すようにからへの正確な写像を行う自然対数関数の一次近似である。 （ただしは離散時間フィルタのサンプル時間でサンプリング周波数の逆数）により近似できる。上の式をについて解くか、を同様に近似すると、この変換の逆写像とその双一次近似は となる。双一次変換とは、この一次近似を用い連続時間の伝達関数において としとするものである。 双一次変換はメビウス変換と呼ばれる等角写像の特殊な場合であり、以下のように定義される。