Билинейное преобразование

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию линейной системы в дискретной форме. Оно отображает точки -оси, , на s-плоскости в окружность единичного радиуса, , на z-плоскости. Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста. Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных: где — дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина). Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием. Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом: Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции на её дискретный аналог: то есть: Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как: