Carmichaels Totientenfunktions-Vermutung

In der Mathematik ist die Eulersche Phi-Funktion (auch Totient von genannt) eine zahlentheoretische Funktion, die für jede positive natürliche Zahl angibt, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind. Diese Totienten sind oft gleich, so ist zum Beispiel , weil zu den vier Zahlen 1, 2, 3 und 4 teilerfremd und zu den vier Zahlen 1, 3, 7 und 9 teilerfremd ist. Der US-amerikanische Mathematiker Robert Carmichael stellte die folgende Behauptung im Jahr 1907 als Übungsaufgabe auf: Für jedes gibt es mindestens eine positive ganze Zahl , sodass gilt: Carmichael war der Meinung, er hätte diese Behauptung bewiesen, und hat diese Behauptung 1907 als einen mathematischen Satz formuliert und sogar 1914 als Übungsaufgabe in sein Lehrbuch Theory of numbers (Kapitel 2) aufgenommen. Allerdings war sein Beweis fehlerhaft. Er zog im Jahr 1922 seine Behauptung zurück, nachdem mehrere Personen ihn auf eine Lücke im Beweis hingewiesen hatten, und erklärte die Vermutung als offenes Problem, die man nun Carmichaels Totientenfunktions-Vermutung oder kurz Carmichaels Vermutung bzw. Carmichaelsche Vermutung nennt (englisch Carmichael’s totient function conjecture). Man kann die Carmichaelsche Vermutung auch anders formulieren: Es gibt keine Zahl , die von der Eulerschen Phi-Funktion genau einmal angenommen wird. Oder als Frage formuliert: Gibt es eine Zahl , die von der Eulerschen Phi-Funktion genau einmal angenommen wird? Wenn die Carmichaelsche Vermutung stimmt, müsste man diese Frage mit „Nein!“ beantworten.