operatore compatto

In analisi funzionale, un operatore compatto è un operatore lineare tra spazi di Banach tale che l'immagine di ogni sottoinsieme limitato del dominio sia un insieme relativamente compatto del codominio, cioè che la sua chiusura sia compatta. Ogni operatore compatto è un operatore completamente continuo, ma non è vero il viceversa. Gli operatori compatti sono necessariamente limitati, e quindi sono operatori continui. Ogni operatore limitato che ha rango finito è un operatore compatto, e quindi la classe degli operatori compatti è la naturale generalizzazione della classe degli operatori a rango finito in uno spazio infinito dimensionale. Se si definisce un operatore compatto da uno spazio di Hilbert in sé, esso è il limite di una successione di operatori a rango finito, e quindi la classe degli operatori compatti può essere definita in modo alternativo come la chiusura della classe degli operatori a rango finito. Gli operatori compatti da uno spazio di Banach in sé, formano un ideale bilatero nell'algebra di tutti gli operatori limitati di uno spazio. Inoltre, gli operatori compatti su di uno spazio di Hilbert formano un ideale minimale, per cui l', nota come l', è un'algebra semplice. Esempi di operatori compatti sono gli operatori di Hilbert-Schmidt, o più in generale operatori nella classe di Schmidt.